《零的历史》第8章

?世纪由科林斯殖民者创建，5世纪其国力达到颠峰，但于212年落于罗马人之手——译者注）国王盖隆（Gelon）的，在这本书中，他向国王展示了如何给巨大的数字命名，这些数字可以不仅仅比锡拉库扎海岸的沙粒多，而且可以比整个西西里海岸的沙粒多，世界上所有陆地上的沙粒，知道的和不知道的，都能用这个方法表示。而且，他说：“我将向你展示，通过几何学证明后的这种方法能使你理解这些我起了名字的数字……那些超过所有沙粒数量的数字……与宇宙具有同样数量级的巨大数字。”
一个磨房，把所有海边的沙子不停的研磨，这个难以想象的情景也许只有在神话传说中才会出现。利用阿基米德创造性的一系列乘法，这些细沙的数量，可以准确的表达出来。
阿基米德这么说：假定在一个有一个罂粟种子那么大的小堆里面至少有10　000个细沙粒，40个罂粟种子排起来和一个手指差不多宽。为使问题简单，假定每个种子都是一个球体。当这些小球一个挨一个排列的时候，一个小球所占据的空间是等于以它的直径为棱长的立方体的体积（你可以想象，以一个球的直径为棱长有一个立方体，那么这个球将恰好能放入这个立方体中。之所以这么假定是因为当时还没有发现球的体积计算方法——译者注），所以，当以40个种子排列的长度为一个球的直径时，　这个球的体积将是一个种子体积的（40）3=64　000倍；并且由于一个种子大小的球体中含有10　000个细沙粒，所以，我们已经讨论了64　000×10　000个，也就是640　000　000细沙粒。用我们现代的符号表示，也就是43×107个细沙粒。为了方便，我们把64四舍五入到100，因此，我们将得到，在一个直径是一个手指宽的球体里面含有109个细沙粒。不要担心所有的这些估计可能都太大：正如你将看到的，夸张是阿基米德的这个游戏的一部分。
现在，让我们继续开始，10　000（104）个手指宽度将是一个称为斯忒德（stade，古希腊、罗马的赛跑场，长607英尺，约185米，大约是1英里的十分之一，后来以此作为一个长度单位——译者注）的希腊长度单位的长度。一个直径是104个手指宽度的球体体积将是一个以一个手指宽度为直径的球体体积的（104）3=1012倍，我们知道在一个以一个手指宽度为直径的球内含有109个细沙粒；所以，以一个斯忒德长度为直径的球内含有1012×109=1021个细沙粒。
阿基米德随后引用比他早25年的一个伟大的天文学家阿里斯塔克斯（Aristarchus　生活在希腊东部爱琴海上的萨摩斯岛（Samos）　）的著作中的数据来估计宇宙直径的大小（古希腊人认为固定星星的地方就是宇宙的边界）。阿里斯塔克斯坚信地球是绕着太阳转的，他的这个想法可是比哥白尼（Copernicus）的想法早了很多年。根据阿里斯塔克斯的观察和计算，阿基米德先假定一个球（称它为S），这个球的半径是地球到太阳的距离；然后他假定下式成立：
通过这个式子，他得到宇宙的直径是100　000　000　000　000或者说是1014斯忒德（计算过程中对阿里斯塔克斯的数据进行了修改）。为此宇宙的体积就是以一个斯忒德为直径的球体积的（1014）3=1042倍，以一个斯忒德为直径的球可以容纳1021个细沙粒，所以如果宇宙中充满细沙粒，那么这个宇宙中细沙粒的数量就将是1021×1042=1063。
“盖隆陛下，我推想，”阿基米德说，“对那些没有研究过数学的人来说，所有的这些看起来好像是难以置信的，但是对于一个数学家，这个证明将是令人信服的。正是出于这个原因，我想你花费时间来学习这个东西将是值得的。”
在20世纪的40年代，两个纽约人（New　Yorkers）估计科尼岛（Coney　Island）上细沙粒数目应该在1020数量级；现代科学估计，在我们现在意义上的宇宙内含有的所有小粒子（比细沙粒要再小很多的粒子）的数量应该在1072到1087数量级，我们现在观念上的宇宙可是比阿基米德所说的宇宙要大的多的，考虑到这些，你将不得不说，阿基米德的估计并不全是那么糟糕的。
这些是希腊人洞察力引人入胜的应用，他们通过类比周围世界来理解遥远的世界。但是，当你意识到阿基米德当时并没有10的乘方这样表达方便的符号，所有的一切都是使用他们那个时代意义上的零来完成的，这些会使你感到更加引人入胜和壮观。
“阿基米德为何错过发明这样方便的符号呢？”卡尔•；弗雷得希•；高斯（Karl　Friedrich　Gauss　最伟大的数学家之一，对阿基米德很崇拜）这么问道。在19世纪，他这么写道：“如果阿基米德发明了这样方便的符号那该多好啊！现在的科学不知道要发展到什么程度了！”但是，事实是阿基米德一直致力于数的名字而不是数字，希腊最大的数字的名字是“米瑞亚德（myriad）”；它表示10　000。这个名字可以让它表达一个米瑞亚德的米瑞亚德（108）这样的数字，随后，他发明了一个新的术语，任何一个小于108的数字（包括108本身）称为一个第一级的数。
然后，他用一个米瑞亚德的米瑞亚德（108）作为单位来表达第二级的数，因此，第二级的数的最大值就达到了1016（我们可以这么说是1016，但他不能这么说）；接着，把1016看作是第三级的数（该级的数的最大值是1024）的单位，等等依次这样类推下去；那么，那个不可思议的巨大数字1063就是一个第八级的数。
但是阿基米德并没有停在那里，事实上，他刚刚开始。阿基米德留下了这个充满了沙子的宇宙，把自己也减小到看作一粒细沙，他在数量级上增加数量级，甚至把数量级达到了108数量级，这个数字的巨大是惊人的，从（100　000　000）99　999　999到（100　000　000）100　000　000就足够包含所有的数字。
我们做到了吗？几乎不能。所有的这些数量级（最大的数量级是那个起了名字的108）组成第一周期数（0（100　000　000）100　000　000之间的数——译者注）。如果你看到阿基米德自己的话，那么你的思维就会不自觉地离开现在讨论的问题，感觉就好像是艾丽丝（Alice）掉到了仙境里面；嘴里还说着：“猫吃蝙蝠吗？蝙蝠吃猫吗？”这样不知所云的话。阿基米德是这样说的：
把第一周期数的最后一个数字看作是第二周期数的第一级数的单位。接着想下去，把第二周期数的第一级数的第米瑞亚德的米瑞亚德（108）个数作为第二周期数的第二级数的单位。
也许，盖隆国王读到这里读不下去了，所以，他也没有能看到阿基米德的最终结论：
让这个进程继续下去，以第米瑞亚德的米瑞亚德周期数的第米瑞亚德的米瑞亚德级数的单位为单位，达到这个单位的米瑞亚德的米瑞亚德倍
简单的说，用我们现在的符号表示，数字的值达到了1080　000　000　000　000　000。当然，在他的观念里的宇宙或者我们现代的宇宙中都不可能有这么多的细沙粒来对应这个数字；如果我们一秒钟数一个数的话，甚至从宇宙大爆炸开始到现在也依然没有足够的时间来数完这些数，因为阿基米德的第一周期数的最后一个数是1的后面加上800百万个零，而这个数（1080　000　000　000　000　000）又是它的108倍。
如果要使那些没有意义的历史变得有意义，我们就需要思考有些表达方法为什么没有被采用，在这个过程中阿基米德做了什么？零为什么没有出现在他的发明中呢？一些人说他的《沙粒计算表》是旅行的力量，你可能认为这完全是希腊人在嬉戏：因为柏拉图（Plato柏拉图希腊哲学家）说我们是上帝的玩物，所以我们应该玩一些高尚的游戏——阿基米德的非凡的工作，由于没有任何可以想象得到的使用价值，所以一定是一个百无聊赖的谐谑曲。他的目的是想贬抑一下国王呢，还是想享受自己在研究大数上超过他的前辈的那种荣耀呢？举个例子，阿基米德的父亲菲迪亚斯（Phidias），在那个时代他已经宣称太阳的直径是月亮直径的12倍，而阿基米德断定这个数字应该是30倍（他也许很乐意知道这个倍数实际上应该是400倍）。阿里斯塔克斯在他的一个计算中使用了一个令人畏惧的数字71　755　875，在这方