已经看到的,我们的翻译都来自从“复原与还原(Restoration and Reduction)”到“完成与比较(pletion and parison)”
代数学是怎样做的呢?这个原理总是用方程来形象地说明:
X2…39+8X=…2X
用一位历史人物的话说,这个方程象一根金线贯穿了从825年的 以后的四个世纪,现在已经经过了十二个世纪。首先“还原”它,把负项移到另一边,变成正的,就是:
X2+8X+2X=39
然后“简化”成为X2+10X=39,即合并同类项。现在你可以象侏儒怪那样运用灵活机智来逼出未知数,告诉你它的解:这个例子中是3(…13也可以,如果允许负根值)。
唯一的问题是你需要不同的方法,在我们今天看来一点都不清楚明了。奥马尔•;凯亚姆有一种解决形式符合X2+pX=q类型方程的解法,另外一种是解X2+q=pX,第三种是pX+q=X2。面对这样详细而且分散的形式,会急切的等待统一。就像孩提时面对词形变化表。类型总要包含一个是否所属的判断,我们没有失望,它带来了一个重要的人物,虽然这在苏格兰,他把这些方程及跟它们类似的整个方程式家族等于零,从而用一种统一的方法来解。
这个人是约翰·纳皮尔(John Napier),爱丁堡附近的男爵。在16世纪晚期,当他的城堡没有被围攻,他没有击退攻击他们土地和邻居的袭击者时,他涉足了一些神秘的研究“可以水下航行的装置”,“圆形双火枪战车”;向鸽子施魔法,着手用巫术寻找埋藏的珠宝,在36个相近的有合乎逻辑的主张预示世界末日的代数学中,推断预言和历史之间的关系,得出结论,最后的审判将在1688与1700年间降临,他还发明了对数。据他的邻居传闻,在十七世纪早期,他是恶魔的一员,他的衣服全是黑色的,一个通体墨黑的公鸡是他一成不变的伙伴,很少理会这些传闻。
纳皮尔
但不管怎样,纳皮尔的魔法是特别狡猾的,或许是因为象圣·弗朗西斯·培根(Sir Francis Bacon)所指出的,历史使人明智,诗歌使人风趣,而数学使人精明。所以,当他的仆人被发现偷窃时,他把他们召集起来(象故事里讲的),告诉他们他的黑公鸡将发现窃贼。他把黑公鸡系在一个漆黑的房间里,每个仆人都要单独进去,拍公鸡一下再出来,这样他就抓到了窃贼,唯一一个手是干净的人,他太害怕而不敢碰被纳皮尔撒了烟灰的公鸡。
纳皮尔对待方程是有魔力的。他把有一些常数项的方程变成另外的形式,通过重复的代数学的传递把所有项都放在左边,仅留一个零在右边。这就是他所说的“等于一无所有。”这个技巧为什么这么重要?这取决于乍看之下不重要的东西:如果两个或更多个因数的积等于零,那么其中一项必须也等于零。转化成数学的语言一定有助于你思考。
如果ab=0,那么a=0,b=0或者a,b都等于0。
但是你马上会指出,在他熟练变换之后,仍然没有因式的积的形式,而是一个有变量与系数的项的积的形式,还有一个常数——这个条件怎么应用呢?即使可以利用,有什么意义呢?
永远不要低估一个术士。如果你看到他把 的方程式变换到x2+10x…39=0的形式,就会领会纳皮尔的思想。我们可以把左边写成怎样的积的形式呢?如果有一点聪明的话,我们就会知道x2+10x…39=0等同于(x-3)(x+13)=0。但若(x-3)(x+13)=0。那分两个因素之一一定是零:所以或者是x-3=0或x+13=0。你马上就可以得出x=3或x=…13。
这个方法适用于一切,当我们所求的x是一个实数。在每种情况下,一旦你发现因数相乘后得到“等于‘无’”。可以把每个因式依次置为0,从而读出满足方程的x的结果值。这就是为什么我们的大桥可以竖立至今,我们的火箭能够降落在设置的地方。
这给我们带来了巧妙的方法,从这种途径考虑使用零:运用物理守恒的原理,经过一系列变化,结果不便。纳皮尔怎么想出这样一个我们现在不屑一顾地想当然的方法呢?“我的祖先生活在荒诞和真理的分界上。”纳皮尔阁下在1857年说。或许想象力需要这样的昏暗背景,这样的试探性的突破才会欣欣向荣。
但是纳皮尔的理论仍有严重的问题“一旦你找到了因式”——是的,但是怎样找到他们?各个项的移动遵循怎样的原则呢?就像要求把一个太极高手的一招一式用电脑打印出来一样。有些关键的规则是有所帮助的,互换的技巧。但是试图对一个代数式分解因式,会认识到数学是一种冒险,
如果你想要更加接近地审视这些介于工艺与艺术之间的技巧,当你发现狡猾的零一次又一次扮演另外的伪装角色将不会觉得吃惊。透过一个椭圆的窗子展望,远处越来越狭窄,新的发现越来越稀少。在最令人注目的位置,是一个任何一个初学代数者都熟悉的问题:解答
x2-1=0
如果你放两个圆括号,把项x放在前面:
(x )(x )=0
在每一个后面放一个1,看上去很合情合理。但是
(x+1)(x+1)=0
得到x2+2x+1=0,多出了2x和有着错误符号的1。再试试(x-1)(x-1)=0,得到x2-2x+1=0,只是错误的不同。很显然,既然唯一可以放在每个括号内的整数是1,你需要可以抵消掉中间项,解决方法就是有一个因式内有+1,另一个因式内有-1,可以得到:
(x-1)(x+1)=x2-x+x-1=0,
-x+x=0,得到了想要的分解后的因式。
注意到这里的零,乔装为-x+x,为了完成使命很快的出现,然后又消失了,它甚至不出现在可以使这个技巧高贵起来的名字里面。“两个平方的差”(在这个例子中, 两个平方是x2和1;1于12相同)。两个平方的差,r2-s2=0。现在可以轻松的分解因式为(r-s)(r+s)=0。这种魔力一半的功劳要归于我们熟悉的形式。
现在不管你什么时候看到类似于x2-64=0的式子,都可以分解为(x-8)(x+8)=0。甚至x4-64=0也适于这种形式,你可以把x4看作(x2)2,所以x4-64=0分解因式为(x2-8)(x2+8)=0
但是,如果很偶然地你想对象x4+64=0这样的代数式分解因式,得到什么呢?再拿出0,现在它的作用更令人咋舌,更加背离常规。由于x4+64=0看上去很难处理。试着仍然写出有x2的因式的框架(x2)(x2)=0,但是接下来怎么办呢?你必须在空白处填上8才会得到64,但是没有多项式能够满足:
(x2+8)(x2+8)=x4+16x2+64
(x2-8)(x2-8)=x4-16x2+64
(x2+8)(x2-8)=x4-64
我们的头撞上的是两个平方的和而不是两个平方的差:(x2)2+(82)2
回想一下我们对x2-1=0分解因式的过程,可以得到帮助。照我们先前的做法来做,我们以-x+x的形式在x2和-1之间插入了0:即
x2-x+x-1=0
分解为(x-1)(x+1)=0。同样的,我们需要在x4和+64之间插入0,现在特别之处是要加和减一个完全平方,希望这样可以得到两个平方的差,这样就可以分解因式了。这种技巧是它的无名发现者仅存的成果。但是使用哪个式子呢?另外的一个无名氏碰巧找到了幸运的多项式:16x2-16x2。如果把它插入x4+64=0,可以得到:
x4+16x2-16x2+64=0
这看上去不是特别有用,除非凭经验重新排列多项式:
(x4+16x2+64)-16x2=0
一分钟之前我们刚遇到过前面的式子,就是(x2+8)(x2+8),即完全平方式(x2+8)2,而且
16x2=(4x)2
x2+8是r,4x是s,即r2-s2 ,因此因式分解为(r+s)(r-s),
(x2+8)2 -(4x)2 =0
分解因式为
(x2+8+4x)(x2+8-4x)=0
这就是为什么0允许我们分解因式
x4+64=0
从我们的椭圆向窗口看下去,0消失了,轻轻的敲打出更难解决的表达式
x4+x2+1=0?
插入这样0?
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