《亚里士多德的三段论》第40章

所有已知三段论系统的断定命题或者是初等表达式或者
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８５１第五章　判定问题
能够容易地被变形为初等表达式。
换位定律，如ＣＩａｂＩｂａ或ＣＡａｂＩｂａ，都是初等表达式。
所有三段论都是ＣＫαβγ形式，而这类表达式都是演绎地等值于ＣαＣβγ形式的初等表达式（对于输出和输入定律而言）。
但是还有三段论系统的其它有意义的表达式，有些是真的，有些是假的，却并不是初等表达式。
我们已经碰到过这样一个表达式，即是断定命题７８，ＣＣCＮＡａｂＡｂａＩａｂ，它的前件不是一个简单表达式，而是一个蕴涵式。
当然，有无穷的这样的表达式，并且它们全都应当在判定的证明中加以考虑。
定理（ＴＡ）在演绎理论的一个类似的定理（ＴＢ）的基础上能够容易地被证明：（ＴＢ）每一个以Ｃ和Ｎ为原始词项的演绎理论的有意义的表达式，都能够用一个演绎地等值的方法（对于有穷数的断定命题而言）化归为一组
Ｃα１Ｃα２Ｃα３…
Ｃαｎ１ＣαｎC形式的初等表达式，其中所有α都是简单表达式，亦即或者是变项或者是它们的否定式。
这个定理的证明是不容易的，但是，由于它对于判定问题来说乃是精华所在，所以不能加以省略。
下面所作的（ＴＢ）
的证明是为对形式逻辑有兴趣的读者提出的；没有受过数理逻辑训练的读者可以把（ＴＡ）
，（ＴＢ）
两条定理当作是认可的东西。
令α是演绎理论的任意的一个有意义的表达式，并且它不同于变项（它可以，但是并不需要，加以变形）
：如我们所知，每一个这样的表达式，都能够用演绎地等值的方法，对
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３２。化归为初等表达式A ９５１
于断定命题Ｓ１与Ｓ２而言：Ｓ１。
ＣｐＣＮｐｑＳ２。
ＣＮｐ变形为表达式ＣＮαπ，其中π是一个不在α中出现的变项。
因此，我们有变形Ⅰ：Ⅰ。
α～ＣＮαπ对于Ｓ１与Ｓ２而言。
变形Ⅰ允许我们把所有有意义的表达式化归为蕴涵式（有一个变项作为它们的最后的词项）。
现在我们必须试着将ＣＮαπ的前件Ｎα变为一个变项或它的否定。
为此目的，我使用以下三项变形：Ⅱ。
ＣＮαβ～Ｃαβ对于Ｓ３与Ｓ４而言Ⅲ。
ＣＮＣαβγ～ＣαＣＮβγ对于Ｓ５与Ｓ６而言Ⅳ。
Ｃαβγ～ＣＮαγ，Ｃβγ对于Ｓ７，Ｓ８，Ｓ９而言相关的断定命题是：对于变形Ⅱ：Ｓ３。
ＣＮｐｑＣｐｑＳ４。
ＣｐｑＣＮｐｑ；对于变形Ⅲ：Ｓ５。
ＣＮＣｐｑｒＣｐＣＮｑｒＳ６。
ＣｐＣＮｑｒＣＮＣｐｑｒ；对于变形Ⅳ：Ｓ７。
ＣｐｑｒＣＮｐｒＳ８。
ＣｐｑｒＣｑｒＳ９。
ＣＮｐｒＣｑｒＣｐｑｒ。
现在让我们解释用这些变形我们怎样能够从ＣＮαπ的前件中得到一个变项或它的否定式。
在ＣＮαπ中出现的表达式
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０６１第五章　判定问题
α，像Ｃ—Ｎ系统的每一个有意义的表达式一样可以或者是一个变项，或者是一个否定式，或者是一个蕴涵式。
如果α是一个变项，就不需要任何变形；如果它是一个否定式，我们得到ＣＮαβ，而根据变形Ⅱ，两个否定互相抵消；如果它是一个蕴涵式，我们从ＣＮＣαβγ得到等值的表达式ＣαＣＮβγ，它的前件α比原来的前件ＮＣαβ简单，这个新的α又可以是一个变项（因而也勿需变形）
，或是一个否定式（这个情况已经解决过了）
，或是一个蕴涵式。
在最后这个情况中，我们从ＣＣαβγ得到两个表达式ＣＮαγ和Ｃβγ，它们有着比原前件Ｃαβ简单一些的前件。
Ⅱ，Ⅲ和Ⅳ的重复地应用，我们必定最后地在一个前件中达到一个变项或它的否定式。
现在让我们用例子来看一看这些变形是如何工作的。
第一个例子：ＮＣｐＮＣｐ～ＣＮＣｐｑ由Ⅰ；ＣＮＣｐｑ～ＣＮＣｐｑ由Ⅱ；ＣＮＣｐｑ～ＣｐＣＮｐｑ由Ⅲ。
ＮＣｐ就这样化归为表达式ＣｐＣＮｐｑ，它在前件中有变项ｐ。
ＣｐＣＮｐｑ是一个初等表达式。
第二个例子：ＣｐｑｐＣｐｑｐ～ＣＮＣｐｑｐｒ由Ⅰ；ＣＮＣｐｑｐｒ～ＣｐｑｐＣＮｐｒ由Ⅲ；ＣｐｑｐＣＮｐｒ～ＣＮＣｐｑＣＮｐｒ，ＣｐＣＮｐｒ由ⅣＣＮＣｐｑＣＮｐｒ～ＣｐＣＮｑＣＮｐｒ由Ⅲ。
Ｃｐｑｐｐ就这样化归为两个表达式：ＣｐＣＮｑＣＮｐｒ与ＣｐＣＮCｐｒ，两者在前件中都有变项ｐ；两者都是初等表达式。
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３２。化归为初等表达式A １６１
第三个例子：ＣｐｑｐＣｐｑｐＣｐｑｐＣｑｐ～ＣＮＣｐｑＣｑｐｒ由Ⅰ；ＣＮＣｐｑＣｑｐｒ～ＣｐｑＣＮＣｑｐｒ由Ⅲ；ＣｐｑＣＮＣｑｐｒ～ＣＮＣｐｑＣＮＣｑｐｒ，ＣｑＣＮＣｑｐｒ由Ⅳ；ＣＮＣｐｑＣＮＣｑｐｒ～ＣｐＣＮｑＣＮＣｑｐｒ由Ⅲ。
ＣｐｑＣｑｐｐ化归为两个表达式ＣｐＣＮｑＣＮＣｑｐｒ以及ＣｑＣＮＣｑｐｒ，两者都在第一个前件中有一个变项。
但是两者都不是初等表达式，因为第一个有着复杂的表达式ＮＣｑｐ作为它的第三个前件，而第二个有着同样的复杂的表达式作为它的第二个前件。
我们能从最后的例子中看到，我们的任务还没有完成。
用变形Ⅰ—Ⅳ我们能得到在第一个前件中有一个变项的蕴涵式，以及还有
Ｃα１Ｃα２Ｃα３…
Ｃαｎ１ＣαｎC形式的表达式，但并非这个形式的所有前件（除α１之外）都必定是简单表达式。
为了解除这样的复杂前件，我们需要三个进一步的变形：Ⅴ。
ＣαＣβγ～ＣβＣαγ对于Ｓ１０而言Ⅵ。
ＣαＣβＣγδ～ＣαＣγＣβδ对于Ｓ１而言Ⅶ。
ＣαＣβγ～ＣＮＣαＮβγ对于Ｓ１２与Ｓ１３而言相应的断定命题是：对变形Ⅴ：Ｓ１０。
ＣｐＣｑｒＣｑＣｐｒ；对变形Ⅵ：Ｓ１。
ＣｐＣｑＣｒｓＣｐＣｒＣｑｓ；
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２６１第五章　判定问题
对变形Ⅶ：Ｓ１２。
ＣｐＣｑｒＣＮＣｐＮｑｒ。
Ｓ１３。
ＣＮＣｐＮｑｒＣｐＣｑｒ。
用Ｓ１０我们能把复杂的前件从第二个位置移到第一个位置，而用Ｓ１能从第三个位置移到第二个位置。
应用这些变形于第三个例子的表达式ＣｐＣＮｑＣＮＣｑｐｒ与ＣｑＣＮＣｑｐｒ我们得到：（α）ＣｐＣＮｑＣＮＣｑｐｒ～ＣｐＣＮＣｑｐＣＮｑｒ由Ⅵ；ＣｐＣＮＣｑｐＣＮｑｒ～ＣＮＣｑｐＣｐＣＮｑｒ由Ⅴ；ＣＮＣｑｐＣｐＣＮｑｒ～ＣｑｐＣＮｐＣｐＣＮｑｒ由Ⅲ；ＣｑｐＣＮｐＣｑＣＮｑｒ～ＣＮｑＣＮｐＣｐＣＮｑｒ，ＣｐＣＮｐＣｐＣＮｑｒ由Ⅳ。
（β）ＣｑＣＮＣｑｐｒ～ＣＮＣｑｐＣｑｒ由Ⅴ；ＣＮＣｑｐＣｑｒ～ＣｑｐＣＮｐＣｑｒ由Ⅲ；ＣｑｐＣＮｐＣｑｒ～ＣＮｑＣＮｐＣｑｒ，ＣｐＣＮｐＣｑｒ由Ⅳ。
这样ＣＣｐｑＣｑｐｐ化归为四个初等表达式：ＣＮｑＣＮｐＣｐＣCＮｑｒ，ＣｐＣＮｐＣｐＣＮｑｒ，ＣＮｑＣＮｐＣｑｒ与ＣｐＣＮｐＣｑｒ。
变形Ⅶ用于复杂前件出现在第四个位置或者更远的地方的所有那些情况。
这个变形允许我们减少前件的数目；事实上，ＮＣｐＮｑ与Ｋｐｑ的意思是一样的，并且Ｓ１２与Ｓ１３相应地都是输入定律与输出定律的另外的形式。
现在ＣＮＣαＮβγ，像ＣＫαβγ一样，只有一个前件，而其等值的表达式ＣαＣβγ有两个前件。
所以，如果一个复杂的表达式出现于第四个位置，如δ在ＣαＣβＣγＣδ∈中那样，我们相继应用Ⅶ和Ⅵ能够把它移至
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