《亚里士多德的三段论》第54章

象到的、从正方形的边沿的各真值划起的许多直线彼此交叉看。
Ｎ的真值表则是容易了解的。
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２２第七章　模态逻辑系统
借助于这个真值表，古典命题演算，即Ｃ—Ｎ—ｐ演算中的任何表达式都可以机械地加以验证，即当它被断定时加以证明，和被排斥时加以否证。
它满足于这样的目的，将值１和值０去代替变项的一切可能的结合时，如果每一种结合按照真值表所规定的等式最后导至１，那末，这个表达式就是被证明的；如果不是这样，它就是被否证的。
例如，ＣｐｑＣＮｐＮｑ根据Ｍ１而被否证，因为当Ｐ＝０和ｑ＝１时，我们有：Ｃ０１ＣＮ０Ｎ１＝Ｃ１Ｃ１０＝Ｃ１０＝０。
相反，我们的Ｃ—Ｎ—ｐ系统的公理之一ＣｐＣＮｐｑ①根据Ｍ１而得到证明，因为我们有：当ｐ＝１，ｑ＝１：Ｃ１ＣＮ１＝Ｃ１Ｃ０１＝Ｃ１＝１，当ｐ＝１，ｑ＝０：Ｃ１ＣＮ１０＝Ｃ１Ｃ０＝Ｃ１＝１，当ｐ＝０，ｑ＝１：Ｃ０ＣＮ０１＝Ｃ０Ｃ１＝Ｃ０１＝１，当ｐ＝０，ｑ＝０：Ｃ０ＣＮ０＝Ｃ０Ｃ１０＝Ｃ０＝１。
用同样的方法我们可以验证Ｃ—Ｎ—ｐ系统另外两个公理ＣｐｑＣｑｒＣｐｒ和ＣＣＮｐ。
因为Ｍ１是这样构成的：关于断定的表达式的替代规则和分离规则永远产生１的这种特性是有传递性的，Ｃ—Ｎ—ｐ系统中的所有断定的公式都能用真值表
①参阅第１０页。
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４６。真值表方法A ３２
Ｍ１加以证明。
同样，因为关于被排斥的表达式的推论规则不经常产生１的这种特性是有传递性的，如果ｐ按照公理是被排斥的，那末，Ｃ—Ｎ—ｐ系统中的所有被排斥的公式都能用Ｍ１加以否证。
一个真值表能验证一个系统中所有的公式，即证明被断定的公式和否证被排斥的公式，这个真值表对这个系统来说，称之为“足够的”。
Ｍ１是古典的命题演算一个“足够的”真值表。
Ｍ１对Ｃ—Ｎ—ｐ系统来说不是唯一足够的真值表。
我们通过Ｍ１和自身“相乘”
而得出另一个足够的真值表Ｍ３。
得出Ｍ３的过程可以描述如下：首先，我们形成１和０的有序对偶值，即：（１，１）
，（１，０）
，（０，１）
，（０、０）
，它们是新真值表的元素。
其次，我们借助下述等式决定Ｃ和Ｎ的真值：（ｙ）Ｃ（ａ，ｂ）
（ｃ，ｄ）＝（Ｃａｃ，Ｃｂｄ）
，（２）Ｎ（ａ，ｂ）＝（Ｎａ，Ｎｂ）。
然后，我们按照这些等式建立真值表Ｍ２，最后，通过简化式：（１，１）＝１，（１，０）＝２，（０，１）＝３和（０，０）＝０而将Ｍ２改变为Ｍ３。
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４２２第七章　模态逻辑系统
Ｍ３中的符号１仍旧标志真，而０仍旧标志假。
新的符号２和３可以解释为真和假的补充记号。
这通过将其中之一（究竟是哪一个这没有关系）等同于１，而另一个等同于０就可以看出来。
请看Ｍ４，那里２＝１，而３＝０。
Ｍ４的第二行和第一行相同，而第四行与第三行相同；同样，Ｍ４的第二栏和第一栏相同，而第四栏与第三栏相同。
消除中间多余的各行和各栏，我们就得出Ｍ１。
用同样的方式我们从Ｍ５得出Ｍ１，那里２＝０和３＝１。
Ｍ３是一个四值的真值表。
Ｍ３乘以Ｍ１，我们得出一个八值的真值表，继续乘以Ｍ１，就得出十六值真值表，并且一般
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４７。
Ｃ—Ｎ—δ—ｐ系统A ５２
地说，得出一个２ｎ值的真值表。
所有这些真值表对Ｃ—Ｎ—ｐ系统来说都是足够的，并且如果我们通过导入变项函子的方式去扩充系统的话，对它继续是足够的。
４７。
Ｃ—Ｎ—δ—ｐ系统A我们已经遇到两个带有变项函子δ的断定命题：扩展原则ＣＱｐｑＣδｐδｑ和断定命题ＣδｐＣδＮｐδｑ。
由于后一断定命题是我们模态逻辑系统的一个公理，这就有必要对借助于δ而扩充的Ｃ—Ｎ—ｐ系统给以充分的解释，这个扩充了的系统，我们跟随麦雷狄士称之为Ｃ—Ｎ—δ—ｐ系统。
这样做更有必要，是因为对带有δ的系统，甚至一些逻辑学家也几乎是完全无知的。
将变项函子引入命题逻辑，应当归功于波兰逻辑学家列斯涅夫斯基。
通过修改他的关于变项函子的替代规则，我就能得出简易而良好的证明①。
首先须要解释一下这个规则。
我用δ标志一个带有一个命题主目的变项函子，并且断定：如果ｐ是一个有意义的表达式，那末，δｐ就是一个有意义的表达式。
我们考察一下，带有一个变项函子的、最简单的、有意义的表达式，即δｐ的涵义是什么。
一个变项是一个被看作关于一定值域的单个的字母，这些值可以用来替代这个字母。
替代就意味着实际地书写它的
①参阅杨卢卡西维茨：《论命题主目的变项函子》（Ｏｎ
Ｖａｒｉａｂｌｅ
ＦｕｎｃW　Cｔｏｒｓ
ｏｆ
ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎａｌ
Ａｒｇｕｍｅｎｔｓ）
，载《爱尔兰皇家科学院院刊》，都柏林，１９５１年，５４Ａ２。
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６２２第七章　模态逻辑系统
一个值去代替这个变项，同一变项的每一次出现都用同样的值去代替。
在Ｃ—Ｎ—ｐ系统中，命题变项（如ｐ或ｑ）的值域是由这个系统中所有有意义的命题的表达式所组成的。
除此以外，还可以导入两个常项：１和０，即一个恒真命题和一个恒假命题。
那末，什么是函子变项δ的值域呢？
很明显，我们可以将任何一值去代替δ，只要这个值与ｐ一起能提供一个在我们系统中有意义的表达式。
不仅带一个命题主目的常函子（例如Ｎ）是如此，就是与带一个主目的函子起相同作用的复合表达式也是如此（例如Ｃｑ或ＣＮｐ）。
通过替代δＣｑ，我们从δｐ得出表达式Ｃｑｐ，而通过＇δＣＣＮｐ，则得出表达式ＣＣＮｐ。
但是，这种替代显然不能＇包括所有可能的情况。
我们不能用这个方法从δｐ得出Ｃｐｑ或ＣｐＣＮｐｑ，因为没有任何一种对δ的替代能将ｐ从它最后的位置上移开。
但是毫无疑问，最后所说的两个表达式正如Ｃｑｐ或ＣＣＮｐｐ一样，也是对δｐ的替代，因为δｐ，正如我所知道的那样，是代表所有包含ｐ的（包括ｐ和δｐ本身）有意义的表达式。
我可以用下述方法来克服这个困难，我首先用例子来说明这个方法。
为了从δｐ通过对δ的替代而得出Ｃｐｑ，我写作δＣ‘ｑ，我通过消除δ并用δ的主目、即用ｐ去填充由省略＇符号所划出的空栏来实现这种替代。
用同样的方法我从δｐ通过替代δＣ‘ＣＮ’ｑ得出表达式ＣｐＣＮｐｑ。
如果在表达式中出＇现不止一个δ，如在ＣδｐＣδＮｐδｑ中所出现的那样，而我想对这个表达式作出替代δＣ‘ｒ，那末，我就必须在每一次都消＇除δ并在消除的地方写上Ｃ’ｒ，以δ的相应的主目去填充空
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４７。
Ｃ—Ｎ—δ—ｐ系统A ７２
栏。
这样，我就从δｐ得出Ｃｐｒ，从δＮｐ得出ＣＮｐｒ，从δｑ得出Ｃｑｒ，而从整个表达式得出ＣＣｐｒＣＮｐｒＣｑｒ。
从同一表达式ＣδｐＣδＮｐδｑ通过替代δＣ‘“推出公式ＣＣｐＣＮｐＮｐＣｑ。
替＇代δ‘表示δ应当省略；通过这样的替代，我们就可以例如＇从ＣδｐＣδＮｐδｑ得出邓斯司各脱原则ＣｐＣＮｐｑ。
替代δδ‘是W　＇“同一的”替代，它不引起任何变化，一般地