《亚里士多德的三段论》第58章


祝穑鸷蚉Wp用M11被否证,正如PCMpp和PMp用M8而被否证一样。
我可以用M去标志W的真值表:
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242第七章 模态逻辑系统
还可以表明,M和W之间的区别不是一种真正的区别,而只是由于不同的标志而产生的区别。
可以回忆一下,我是通过用2来标志(1,0)和用3标志(0,1)这成对的值,而从M2得出M3的。
由于这种标志完全是任意的,因而我有同样的权利用3表示(1,0)和用2表示(0,1)
,或者选择别的任何数字和记号。
让我交换M9中的值2和值3,在写2的地方记上3,而在写3的地方记上2。
我们从M9得出真值表M12,而通过重新分配M12中的中间各行和各栏,就得出真值表M13:
如果我们将M9和M13进行比较,那末就看到C和N的真值表保持不变,而相当于M和L的真值表却变得不同了,因而我不能用M和L去标志它们。
在M13中的、对应于M9中的
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51。成对的可能性A 342
M的真值表正是W的真值表。
M13仍然是与M9相同的真值表,只是用另一种标志书写出来而已。
W代表与M相同的函子,应当具有与M相同的性质。
如果M表示可能性,那末,W也同样表示可能性,并且在这两个可能性之间不可能有任何区别。
虽然M和W是同一的,但当他们在同一公式中出现的时候,他们就显出差别。
它们类似于一对样子非常相像的孪生子,当分别地遇到他们的时候,不能加以区别,而当看到他们在一起时,就能立即将他们识别出来。
为了了解这一点,让我们考察一下表达式MWp,WMp,MMp和WWp。
如果M和W是同一的,那末,这四个表达式也应当彼此同一。
但是,它们并不同一。
用我们的真值表可以证明,下述公式是被断定的:72。
MWp和73。
WMp,因为Wp只有1或者2作为它的真值,而M1正如M2=1;同样,Mp只有1或者3作为它的真值,而两者W1=1和W=31。
另一方面,可以证明,公式74。
CMMpMp和75。
WWpWp是被断定的,而因为不论是Mp还是Wp,都是被排斥的,那末MMp和WWp也应当是被排斥的,因而我们有
P76。
MMp和P77。
WWp,所以,我们不能在72或73式中用M代替W或用W代替M,因为这样我们会从一个断定的公式得出一个排斥的公式。
至今还没有任何人注意到存在成对的可能性(与此相联系也存在成对的必然性)这个有趣的逻辑事实,它是由我的
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42第七章 模态逻辑系统
四值模态系统而得出的另一个重大的发现。
这个事实非常精密并且要求为古代逻辑学家已经知道的形式逻辑有一个很大的发展。
存在这对孪生子既说明了亚里士多德或然三段论理论中的错误和困难,也证明了他关于偶然性直觉观念的正确。
52。偶然性和模态逻辑的四值系统A我们已经知道,亚里士多德模态逻辑中的第二个巨大困难是与他关于某些偶然命题为真这个假设有关。
根据断定命题52(它是我们的公理51的变形)
52。
CKδpδNpδq,我们得出下述结果:
52:δM,pα,qp×78' ' '78。
CKMαMNαMp
78。
CP79—P7P79。
KMαMNα这表示:表达式79对于任一命题α,都是被排斥的,因为α在这里是一个“解释变项”。
因而,不存在这样的α,它能验证两个命题“α是可能的”和“非α是可能的”
,也就是说,不存在真的偶然命题Tα,如果Tp是像亚里士多德所作的那样,定义为Mp和MNp的合取,即80。
CδKMpMNpδTp。
这个结果用真值表的方法得到证实。
采用Kpq号的通常定义:81。
CδNCpNqδKpq,我们得出关于K的真值表M14,并且我们有:
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52。偶然性和模态逻辑的四值系统A 542
当p=1:KMpMNp=KM1MN1=K1M0=K13=3当p=2:KMpMNp=KM2MN2=K1M3=K13=3当p=3:KMpMNp=KM3MN3=K3M2=K31=3当p=0:KMpMNp=KM0MN0=K3M1=K31=3。
我们看到,合取式KMpMNp具有恒值3,因而永远都不是真的。
因此,Tp=3,也就是说,不存在在定义80所指意义上的真的偶然命题。
然而,亚里士多德认为“明天可能发生海战”和“明天可能不发生海战”
两个命题今天可以都是真的。
因此,按照他的偶然性观点,是可以有真的偶然命题的。
有两个方法可以避免亚里士多德的观点和我们的模态逻辑系统之间的这种矛盾:我们应当或者否定命题可以同时既是偶然的又是真的,或者修改亚里士多德的偶然性定义。
我选择了第二个方法,使用了上面所揭示的可能性成对的形态。
抛掷一个钱币,可以落下或者钱币的正面或者钱币的反面,换句话说,可能落下正面,也可能不落下正面。
我们倾向于将两个命题都看作是真的。
但是,如果第一个“可能性”用与第二个可能性相同的函子去标志的话,它们就不能两个都
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642第七章 模态逻辑系统
真。
第一个可能性是与第二个可能性完全相同的,但是,从这里不应得出,它就应该用同样的方式去标志。
落下正面的可能性与不落下正面的可能性是有区别的。
我们可以用M标志一个可能性,而用W标志另一个可能性。
带有肯定主目的命题“p是可能的”
可以表达为Mp;带有否定主目的命题“非p是可能的”可以表达为WNp;或者第一个作为Wp,第二个作为MNp。
这样,我们就获得两个偶然性函子,譬如说是X和,它们的定义如下:e82。
CδKMpWNpδXp和83。
CδKWpMNpδp。
e不可能将这些定义译成日常的语言,因为我们没有两类可能性和偶然性的名称。
我们就将它们称为“M-可能的”和“W-可能的”
,“X-偶然的”和“-偶然的”。
这样,我们就e可以概略地说:“p是X-偶然的”表示“p是M-可能的并且Np是W-可能的”
,而“p是-偶然的”表示“p是We-可能的并且Np是M-可能的”。
从定义82和83,我们可以推出X和γ的真值表。
我们得出:当p=1:X1=KM1WN1=K1W0=K12=2;1=KW1MN1=K1M0=K13=3。
e当p=2:X2=KM2WN2=K1W3=K1=1;2=KW2MN2=K2M3=K23=0。
e当p=3:X3=KM3WN3=K3W2=K32=0;
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52。偶然性和模态逻辑的四值系统A 742
3=KW3MN3=K1M2=K1=1。
e当p=0:X0=KM0WN0=K3W1=K31=3;0=KW0MN0=K2M1=K21=2。
e真值表M15表明,不论是Xp还是p,对于p的某些值证明是e真的(Xp,当p=2;p,当p=3)。
现在已经证明,KMpMNpe具有恒值3;同样可以表明,KWpWNp具有恒值2。
这样,我们就得到两个断定的公式:84。
XKWpWNp和85。KMpMNp。
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