《亚里士多德的三段论》第43章

举两个例子就可以透彻地说明问题。
第一个例子：ＣＮＡａｂＣＮＡｂｃＣＮＩｂｄＣＩｂｃＮＡｃｄ是一个断定命题。
我们把这个表达式化归为（１）与（２）
（１）ＣＮＡａｂＣＮＩｂｄＣＩｂｃＮＡｃｄ，（２）ＣＮＡｂｃＣＮＩｂｄＣＩｂｃＮＡｃｄ。
用同样方式，我们把（１）化归为（３）和（４）
：（３）ＣＮＡａｂＣＩｂｃＮＡｃｄ，（４）ＣＮＩｂｄＣＩｂｃＮＡｃｄ。
并且把（２）化归为（５）和（６）
：（５）ＣＮＡｂｃＣＩｂｃＮＡｃｄ，（６）ＣＮＩｂｄＣＩｂｃＮＡｃｄ。
现在最后一个表达式是一个断定命题；它是第三格的Ｆｅｒｉｓｏｎ式。
在ＣｐＣｑｐ中，以（６）代ｐ，并以ＮＡｂｃ代ｑ，我们得到（２）
，再一次应用ＣｐＣｑｐ，以（２）代ｐ，并以ＮＡａｂ代ｑ，我们就达到了原命题。
第二个例子：ＣＮＡａｂＣＮＡｂｃＣＮＩｃｄＣＩｂｄC
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３。三段论系统的初等表达式A ３７１
ＮＡａｄ，并非一个断定命题。
如同前面的例子一样，我们把这个表达式化归为：（１）ＣＮＡａｂＣＮＩｃｄＣＩｂｄＮＡａｄ，（２）ＣＮＡｂｃＣＮＩｃｄＣＩｂｄＮＡａｄ；然后，我们把（１）化归为（３）和（４）
，并且把（２）化归为（５）和（６）
：（３）ＣＮＡａｂＣＩｂｄＮＡａｄ，（４）ＣＮＩｃｄＣＩｂｄＮＡａｄ，（５）ＣＮＡｂｃＣＩｂｄＮＡａｄ，（６）ＣＮＩｃｄＣＩｂｄＮＡａｄ。
所有以上带有一个否定前件的公式，都不是断定命题，这可以用把它们化归为只有肯定元素的情况的办法来加以证明。
表达式（３）
，（４）
，（５）和（６）都是被排斥的。
应用斯卢派斯基规则，我们从被排斥的表达式（５）和（６）得到（２）必须被排斥，并且从被排斥的表达式（３）和（４）
，得到（１）必须被排斥。
但是，如果（１）和（２）都被排斥了，那么，原表达式也必须被排斥。
第四种情况：后件是肯定的，而有些（或所有）前件都是否定的。
这个情况可以化归为第三种情况。
证明：ＣαＣＮβγ形式的表达式，在断定命题ＣｐＣＮｑｒＣｐＣＮｑＣＮｒＮＡａａ与ＣＣｐＣＮｑＣＮｒＮＡａＣｐＣＮｑｒ的基础上都演绎地等值于ＣαＣＮβＣＮγＮＡａａ形式的表达式，因为ＮＡａａ总是假的。
带有否定元素的所有情况就这样地穷尽地考察过了。
第五种情况：所有前件都是肯定的，而后件是一个全称
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４７１第五章　判定问题
肯定命题。
有几种从属情况应当加以区分：（ａ）
后件是Ａａ；这个表达式是断定的，因为它的后件是真的。
（ｂ）
后件是Ａａｂ，而且Ａａｂ也是前件之一。
这个表达式当然是被断定的。
以下都假定Ａａｂ不作为前件出现。
（ｃ）后件是Ａａｂ，但是没有前件是Ａａｆ型的（ｆ不同于ａ，并且，当然也不同于ｂ）。
这样的表达式都是被排斥的。
证明：将不同于ａ与ｂ的所有变项等同于ｂ，我们只能得到以下的前件：
Ａａ，Ａｂａ，Ａｂ，Ｉａ，Ｉａｂ，Ｉｂａ，Ｉｂｂ。
（我们不能得到Ａａｂ，因为没有前件是Ａａｆ型的，其中ｆ不同于ａ。）前提Ａａ，Ａｂ，Ｉａ，Ｉｂｂ可因其是真的而略去。
（如果没有其它前提，这个表达式就被排斥，犹如在第一种情况中一样。）如果除了Ｉａｂ之外还有Ｉｂａ，它们之一可以省略掉，因为它们彼此是等值的。
如果有Ａｂａ，则Ｉａｂ与Ｉｂａ两者都可以略去，因为Ａｂａ蕴涵着它们二者。
在这些化归之后，只有Ａｂａ或Ｉａｂ能够作为前件留下来。
现在可以表明这两个蕴涵式，ＣＡｂａＡａｂ与ＣＩａｂＡａｂ，根据我们的排斥公理都是被排斥的：
Ｘ。
ｐＡｃｂ，ｑＡｂａ，ｒＩａｃ，ＳＡａｂ×Ｃ２７—１０８＇１０８。
ＣＡａｂＡｂａＣＫＡｃｂＡａｂＩａｃ（Ｘ。
ＣＫｐｑｒＣｓｑＣＫｐｓｒ；
１０８×ＣP１０９—P５９２７。
ＣＫＡｃｂＡｂａＩａｃ）
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３。三段论系统的初等表达式A ５７１
P１０９。
ＣＡａｂＡｂａP１０９×P１１０。
ｂａａｂ＇　P１０
ＣＡｂａＡａｂ。
如果ＣＡｂａＡａｂ被排斥，则ＣＩａｂＡａｂ必定也被排斥，因为Ｉａｂ是比Ａｂａ更弱的前提。
（ｄ）后件是Ａａｂ并且有Ａａｆ型的前件（其中ｆ不同于ａ）。
如果有一个由ａ导至ｂ的系列，根据公理３（Ｂａｒｂａｒａ式）
这个表达式被断定；如果没有这样的系列，这个表达式就被排斥。
证明：我把一个由ａ导至ｂ的系列了解为一个有序的全称肯定前提的序列：
Ａａｃ１，Ａｃ１ｃ２…，Ａｃｎ１ｃｎ，Ａｃｎｂ，C序列的第一项有ａ作为它的第一个变元。
最后一项有ｂ作为它的第二个变元。
而每一个其它项的第二个变元都与它的后承者的第一个变元相同。
很明显，从这样一个表达式的序列，重复应用Ｂａｒｂａｒａ式就得出Ａａｂ。
所以，如果有一个从ａ导至ｂ的系列，这表达式就被断定；如果没有这样的系列，我们能消去Ａａｆ型的前提（将它们的第二个变元等同于ａ）
，用这种方法这表达式被化归为从属情况（ｃ）
，而它已是被排斥的。
第六种情况：所有前件都是肯定的，而后件是一个特称肯定命题。
这里我们也必须区分几种从属情况。
（ａ）后件是Ｉａ；这表达式是被断定的，因为它的后件是真的。
（ｂ）后件是Ｉａｂ，而出现为前件的或是Ａａｂ，或Ａｂａ，或Ｉａｂ，或Ｉｂａ；很显然，在所有这些情况，这表达式必须被断定。
以下都假定以上四者都不作为前件出现。
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６７１第五章　判定问题
（ｃ）
后件是Ｉａｂ，而没有前件是Ａｆａ型的（ｆ不同于ａ）
，或者是Ａｇｂ型的（ｇ不同于ｂ）这表达式是被排斥的。
证明：我们把所有不同于ａ，ｂ的变项都等同于ｃ；于是在Ａｃｃ或Ｉｃｃ型的真前提之外，我们只得到以下前件：
Ａａｃ，Ａｂｃ，Ｉａｃ，Ｉｂｃ。
Ａａｃ蕴涵Ｉａｃ，而Ａｂｃ蕴涵Ｉｂｃ。
所以，前提的最强的组合是Ａａｃ与Ａｂｃ。
然而，从这个组合，不会得出Ｉａｂ，因为公式
ＣＡａｃＣＡｂｃＩａｂ等值于我们的排斥公理。
（ｄ）
后件是Ｉａｂ，并且在前件之中有Ａｆａ型（ｆ不同于ａ）
的表达式，而没有Ａｇｂ型（ｇ不同于ｂ）
的表达式。
如果有Ａｂｅ或Ｉｂｅ（Ｉｅｂ）
，并且有一个从ｅ导至ａ的系列：（α）Ａｂｅ；Ａｅ１，Ａｅ１ｅ２，…，Ａｅｎａ，（β）
Ｉｂｅ；Ａｅ１，Ａｅ１ｅ２，…，Ａｅｎａ我们从（α）
得到Ａｂｅ与Ａｅａ，从而用Ｂｒａｍａｎｔｉｐ式得到Ｉａｂ，而从（β）
得到Ｉｂｅ与Ａｅａ，从而用Ｄｉｍａｒｉｓ式得到Ｉａｂ。
在两种情况中，这表达式都是被断定的。
然而，如果不满足条件（α）
和（β）
，我们能够消去Ａｆａ型的前提（用把它们的第一个变元等同于ａ的办法）
，根据从属情况（ｃ）
，这表达式必须被排斥。
（ｅ）后件是Ｉａｂ，并且在前件之中有Ａｇｂ型（ｇ不同于ｂ）的表达式，而没有Ａｆａ型（ｆ不同于ａ）的表达式。
这个情况能够化归为从属情况（ｄ）